PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO
1) Apresentação teórica do conteúdo que será abordado no material.
Disciplinas: Matemática e Física
Conteúdos:
· Funções;
· Queda-livre;
· Lançamento vertical;
Função Quadrática
A função quadrática, também chamada de função polinomial do 2º grau, é qualquer função f de IR em IR, na lei da forma f(x) = ax² + bx +c, onde a, b e c são as constantes (números reais) e x é a variável, sendo a ≠ 0.
Alguns exemplos de função quadrática:
· f(x) = 2x² + 5x +4, sendo a = 2, b = 5 e c = 4
· f(x) = x² + 3, sendo a = 1, b = 0 e c = 3
· f(x) = 3x - 2x² + 1, sendo a = -2, b = 3 e c = 1
· f(x) = x² - 4x, sendo a = 1, b = 4 e c = 0
O gráfico da função quadrática f(x)= ax² + bx + c, é uma curva denominada parábola. Para construir o gráfico, atribuímos primeiramente alguns valores a x, e após calculamos para assim ter os valores de y, em seguida liga-se os pontos obtidos.
Exemplo:
f(x) = y = x² + 2x - 3
x | y |
1 | 0 |
0 | - 3 |
- 1 | - 4 |
- 2 | - 3 |
- 3 | 0 |
Concavidade da parábola:
Na construção do gráfico de uma função quadrática f(x) = ax² +bx +c, vemos que:
· se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima:
· se a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo:
O Zero e a Equação Quadrática:
Denomina-se zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax² + bx +c, os números reais x tais que f(x) = 0 :
Temos então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c, são encontradas ao se igualar tal função a zero:
ax² + bx + c = 0
resolvendo tal equação pela chamada fórmula de Bhaskara:
Assim, temos que a quantidade de raízes reais da função quadrática depende do valor obtido para o radicando
-
- quando
- quando for zero, há só uma raiz real;
- quando for negativo, não há raiz real.
Coordenadas do vértice da parábola:
Como já vimos, quando a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima, com isso ela terá um ponto de mínimo V; já, quando a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. As coordenadas de V são encontradas através de:
Ponto de Mínimo
Ponto de Máximo
Dentro do estudo das funções quadráticas, podemos desenvolver conteúdos na área da Física, como resolver situações envolvendo Queda Livre, onde o espaço (s) percorrido é dado em função do tempo (t), através de uma função quadrática s(t) = 4,9 t², na qual a constante 4,9 é a metade da gravidade que é 9,8 m/s².
Movimento no Vácuo
Movimento de Queda Livre:
O estudo de queda livre é realizado desde 300 a.C, com o filósofo grego Aristóteles, o qual afirmava que se duas pedras, uma mais pesada que a outra, fossem abandonadas a uma mesma altura, a mais pesada atingiria o solo mais rapidamente. Tal afirmação foi aceita como verdadeira durante vários séculos, sendo que somente por volta do século XVII o físico italiano Galileu Galilei contestou essa afirmação.
Para Galileu, considerado o pai da experimentação, só se podia considerar verdadeira as afirmações referentes a comportamentos da natureza, se fossem realizados experimentos. Assim, ao realizar um experimento bem simples, ele verificou que a afirmação de Aristóteles não era verdadeira na prática. Ele abandou duas esferas de pesos diferentes a uma mesma altura, e comprovou que ambas chegavam ao solo no mesmo instante.
Ao realizar a experiência de queda com outros corpos, Galileu percebeu que os corpos atingiam o solo em diferentes instantes, sendo que observando esse fato dessa diferença de instantes de tempo de queda, ele lançou a hipótese de que o ar tinha ação retardadora do movimento. Tal hipótese foi comprovada anos mais tarde experimentalmente. Ao se abandonar dois corpos de massas diferentes, a uma mesma altura, livres da resistência do ar (vácuo) é possível observar que o tempo de queda é igual para ambos.
O movimento de queda livre, é uma particularidade do movimento uniformemente variado (MRUV), sendo assim, é acelerado. Tal movimento sofre a ação da aceleração da gravidade, a qual é representada por g e é uma variável para cada ponto da superfície da Terra. Ao estudarmos Física, e desprezarmos a resistência do ar, o valor da aceleração é aproximadamente 9,8 m/s², significando que um corpo em queda livre tem sua velocidade aumentada em 9,8 m/s a cada um segundo. Este valor pode ser aproximado para uma gravidade igual a 10 m/s²
Assim, temos que:
Dúvidas | Respostas |
Uma pedra é abandonada no alto de um prédio. O que sabemos sobre ela? | Sabemos que sua velocidade inicial é vo = 0 |
Observa-se que à medida que a pedra vai caindo sua velocidade aumenta. | Para velocidade aumentar é necessário que exista aceleração com sentido para baixo. |
Se a pedra não possui motor de onde vem esta aceleração? | É a aceleração da gravidade, g. A aceleração é constante. |
Lançamento vertical
O que diferencia o lançamento vertical da queda livre é o fato da velocidade inicial do primeiro ser diferente de zero, bem como na queda livre só podemos ter movimentos no sentido de cima para baixo, já no lançamento vertical o movimento pode ocorrer nos dois sentidos, ou seja, de cima para baixou ou de baixo para cima.
Lançamento vertical para baixo
Lançamento vertical para cima
Dúvidas: | Respostas: |
Qual a velocidade, no ponto mais alto da trajetória de um Lançamento Vertical para cima? | A velocidade é igual à zero. |
Qual o tipo de movimento na subida? | Movimento Retardado. |
Qual o tipo de movimento na descida? | Movimento Acelerado. |
As equações que descrevem os movimentos verticais no vácuo são as mesmas do movimento uniformemente variado, pois tais movimentos apresentam aceleração constante e são retilíneos:
O sinal da aceleração da gravidade é dado a partir do início do movimento, assim:
· O início seja de cima para baixo temos g positivo (pois está auxiliando a descida do corpo);
· O início seja de baixo para cima, temos g negativo (pois o corpo está sendo lançado contra a gravidade).
Exemplo:
Um objeto é lançado do solo verticalmente para cima com velocidade inicial de 30m/s. desprezando o atrito com o ar e utilizando a aceleração gravitacional igual a 10 m/s². responda:
a) Qual o tempo gasto para o objeto atingir o ponto mais alto de seu percurso?
Ao chegar ao ponto mais alto o objeto para, assim, sua velocidade será igual à 0.
Substituindo os dados:
g = 10 m/s²
Vo = 30 m/s
V = 0
V = Vo + g . t
0 = 30 - 10 .t
t = 30 / 10
t = 3 segundos é o tempo que o objeto leva até atingir seu ponto mais alto.
b) Qual a altura máxima atingida pelo objeto?
A altura máxima é atingida aos 3 segundos, assim:
S = So + Vo . t + ½ g.t²
S = 0 + 30 . 3 - ½. (10 . 3²)
S = 90 – 45
S = 45 metros é a altura máxima que o objeto alcança.
c) Esboce o gráfico desta trajetória:
2) Estratégias didático-pedagógicas e recursos que serão utilizados ao se trabalhar os conteúdos.
Para que este trabalho possa ser desenvolvido, será necessário o acesso dos alunos a computadores, sendo utilizada tal ferramenta no uso de pesquisas, bem como, será apresentado e explicado aos alunos o software GeoGebra, para a construção de gráficos. As aulas se darão com experimentos simples realizados pelos alunos, para que se comprove o que estão estudando e pesquisando, bem como possam também ter acesso a vídeos sobre os assuntos em estudo.
Atividades:
Será apresentado primeiramente aos alunos o que são as Funções Quadráticas, partindo de explicações sobre estas realizadas pela professora, com exemplos, como os descritos no tópico 1. Em seguida, os alunos serão levados a conhecer o software GeoGebra, onde irão explorá-lo, de início, livremente, e após, seguindo as dicas da professora, a qual os orientará na construção de gráficos das funções em estudo. Com este software, os estudantes poderão explorar os gráficos, movimentando os mesmos, podendo perceber assim, o que acontece com os valores dos mesmos. Do mesmo modo, ao mudarem os sinais das funções, serão levados a observar as questões referentes aos pontos de mínimo e de máximo da função.
Os alunos, em duplas ou trios, serão levados a pesquisarem sobre o uso das funções quadráticas em diversas áreas, devendo apresentar a turma os resultados obtidos. Um exemplo do uso das funções quadráticas a ser mostrados aos alunos é o vídeo:
Após esta primeira etapa, serão realizados alguns exercícios de fixação.
Partindo destes estudos, iniciaremos a interdisciplinaridade com Física, iniciando com questionamentos simples:
· O que é movimento?
· Qual o significado dos termos aceleração e gravidade?
Os alunos poderão responder de forma livre tais questionamentos, os quais serão retomados posteriormente após o estudo dos mesmos. Nossa aula de Física iniciará com uma pesquisa realizada no próprio laboratório sobre o que é queda livre e lançamento vertical, sendo que os alunos deverão registrar as principais informações encontradas.
Assim, a professora iniciará as explicações sobre o tema queda livre, onde será utilizado o seguinte vídeo:
através do qual os estudantes poderão observar que a aceleração é a mesma para quaisquer corpos em movimento, ou seja, aceleração gravitacional.
Em sala, serão realizados experimentos com diversos objetos, para que se possa comprovar que o tempo de queda para corpos abandonados em uma mesma altura é o mesmo, indiferente de sua massa.
Para um melhor entendimento sobre lançamento vertical, os alunos assistirão ao vídeo:
Os estudantes serão levados a analisar a relação da função quadrática com as resoluções dos problemas envolvendo lançamentos verticais e queda livre, destacando, por exemplo, que o ponto de máximo de uma função, é o momento em que um corpo atinge sua altura máxima em um lançamento vertical para cima.
Após estes estudos, serão retomados os questionamentos iniciais, para que os alunos possam verificar se as respostas dadas inicialmente estavam corretas ou não, após o estudo realizado.
Para realização dos exercícios de fixação, os alunos poderão fazer uso do software GeoGebra na construção dos gráficos.
Alguns exercícios:
1) Construir o gráfico cartesiano de cada uma das funções do segundo grau:
a) f(x) = x²-3x-4
b) f(x) = -3x²+5x-8
c) f(x) = 4x²-4x+1
2) Dada a função y = f(x) = x² - 10x + 9:
a) Determine as coordenadas do ponto onde seu gráfico corta o eixo-x;
b) Determine as coordenadas do ponto onde seu gráfico corta o eixo-y;
c) Determine as coordenadas do vértice da parábola;
d) Utilize as informações obtidas para esboçar seu gráfico.
3) Sabe-se que a função quadrática y = 3x² + bx + c tem como raízes os números - 2 e 6. Determine as coordenadas do vértice de seu gráfico e esboce-o.
4) Uma bola é lançada verticalmente para cima. Podemos dizer que no ponto mais alto de sua trajetória:
a) A velocidade da bola é mínima, e a aceleração da bola é vertical e para baixo.
b) A velocidade da bola é máxima, e a aceleração da bola é vertical e para baixo.
c) A velocidade da bola é máxima, e a aceleração da bola é vertical e para cima.
d) A velocidade da bola é mínima, e a aceleração da bola é nula.
5) Um objeto é lançado verticalmente para cima de uma base com velocidade v = 30 m/s. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 e desprezando-se a resistência do ar, determine o tempo que o objeto leva para voltar à base da qual foi lançado.
6) Um objeto é lançado verticalmente para cima, de uma base, com velocidade v = 30 m/s. Indique a distância total percorrida pelo objeto desde sua saída da base até seu retorno, considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s² e desprezando a resistência do ar. Construa o gráfico.
7) Uma bola é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, e atinge uma altura máxima de 20 m. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s², qual a velocidade inicial de lançamento e o tempo de subida da bola? Construa o gráfico.
8) Duas esferas de aço, de massas iguais a m = 1,0 kg, estão amarradas uma a outra por uma corda muito curta, leve, inquebrável e inextensível. Uma das esferas é jogada para cima, a partir do solo, com velocidade vertical de 20,0 m/s, enquanto a outra está inicialmente em repouso sobre o solo. Sabendo que, no ponto de máxima altura hmáx da trajetória do centro de massa, as duas esferas estão na mesma altura, qual o valor, em m, da altura hmáx? (Considere g = 10 m/s²)
9) Um objeto é solto do repouso de uma altura de H no instante t = 0. Um segundo objeto é arremessado para baixo com uma velocidade vertical de 80 m/s depois de um intervalo de tempo de 4,0 s, após o primeiro objeto. Sabendo que os dois atingem o solo ao mesmo tempo, calcule H (considere a resistência do ar desprezível e g = 10 m/s²).
Referências:
Funções Quadráticas:
Movimento no Vácuo:
